Jak Pendulum uczy Cię równań różniczkowych

Zacznij od tego, co widzisz

Powiesić ciężar na sznurku. Pociągnij na bok. Puść. Waha się.

Właśnie stworzyłeś system regulowany przez równanie różniczkowe:

dθ / dt = ω dω / dt = - (g / L) · sin (θ)

to jest kąt. ω to prędkość kątowa. g jest grawitacją (9,81 m / s ²). L jest długością łańcucha. Te dwie linie mówią: kąt zmienia się w tempie równym prędkości, a prędkość zmienia się w tempie zależnym od grawitacji, długości i aktualnego kąta.

Problem: nie możemy dokładnie rozwiązać tego równania. sin(θ) sprawia, że jest nieliniowy. Nie ma żadnej formuły, która dawałaby ci "jo" w dowolnym momencie t. Więc przybliżamy - krok naprzód w małych krokach, obliczamy następny stan z obecnego.

Tak działa rozwiązanie ODE. Są lepsze i gorsze sposoby.

Metoda Euler: Oczywista, ale wadliwa

Najprostszy pomysł: jeśli znam stan teraz i znam tempo zmian, mogę oszacować stan mały krok później.

next_angle = current_angle + velocity × dt
next_velocity = current_velocity + acceleration × dt

To metoda Eulera. To jak chodzenie przez mgłę: widać jeden krok do przodu, więc robisz ten krok, a potem patrzysz ponownie. Kod:

function euler(f, t, y, dt) {
  const dy = f(t, y);
  return [
    y[0] + dt * dy[0],
    y[1] + dt * dy[1]
  ];
}

Problem: Metoda Eulera jest poprawna. Oznacza to, że jeśli zwiększysz o połowę rozmiar kroku, to o połowę popełnisz błąd. Dla wahadła ten błąd gromadzi się - symulowane wahadło powoli zyskuje energię i kołysze się szerzej i szerzej. Po kilku minutach kręci się w kółko. Prawdziwe wahadło nigdy tego nie robi.

RK4: Koń roboczy

W 1901 roku Carl Runge i Martin Kutta opublikowali lepszą metodę. Zamiast patrzeć na tempo zmian raz na krok, spójrz na to cztery razy:

1. Zmierz nachylenie na początku kroku → k
2. Krok w połowie za pomocą k
3. Krok w połowie za pomocą k mbH, mierzyć ponownie → k
4. Krok do końca za pomocą k
5. Kombinacja: średnia ważona (k = + 2k = = + 2k = =) / 6

Czterokolejno-dokładne. Połowę rozmiaru kroku i błąd spada o współczynnik 16. Wahadło prawidłowo oszczędza energię na tysiące huśtawek.

function rk4(f, t, y, dt) {
  const k1 = f(t, y);
  const k2 = f(t + dt/2, [y[0] + dt/2 * k1[0], y[1] + dt/2 * k1[1]]);
  const k3 = f(t + dt/2, [y[0] + dt/2 * k2[0], y[1] + dt/2 * k2[1]]);
  const k4 = f(t + dt,   [y[0] + dt   * k3[0], y[1] + dt   * k3[1]]);
  return [
    y[0] + (dt/6) * (k1[0] + 2*k2[0] + 2*k3[0] + k4[0]),
    y[1] + (dt/6) * (k1[1] + 2*k2[1] + 2*k3[1] + k4[1])
  ];
}

Jest to metoda PinePaper stosowana do symulacji wahadła, masy Spring- i Van der Pol. To ta sama metoda stosowana w obliczeniach trajektorii lotniczej. 22 linie kodu.

Dlaczego to ma znaczenie poza fizyką

Wahadło jest przykładem nauczania. Ale ta sama technika - krok do przodu, pomiar, poprawny - stosuje się wszędzie, gdzie masz tempo zmian:

• • • Wzrost populacji * *: dx / dt = r · x · (1 - x / K). Wzrost logistyczny z nośnością. To samo rozwiązanie.
• • • Reakcje chemiczne * *: stężenia zmieniają się w tempie proporcjonalnym do obecnych stężeń. To samo rozwiązanie.
• • • Sieci neurologiczne * *: gradient schodzenia jest dyskrecjonalnym ODE. Każdy krok treningowy jest krokiem Euler wzdłuż powierzchni straty.
• • • Ekonomia * *: związki procentowe nieprzerwanie poprzez dy / dt = r · y. Dodatkowy wzrost jest najprostszym ODE.
• • • Czas animacji * *: krzywe rozluźnienia są rozwiązaniami dla ODE spring- tłumiących. "Elastyczne" i "odbijanie" w CSS to fizyczne symulacje.

Matematyka się nie zmienia. Domena tak. To sprawia, że jest to język - ta sama gramatyka opisuje liczenie owiec, huśtawki wahadła i trening sieci neuronowej.

Sam spróbuj

Otwórz PinePaper i wybierz generator Dynamic System. Wybierz "wahadło". Bob huśta. Teraz zmień parametry:

• Zwiększenie grawitacji → szybszy huśtawka (krótszy okres)
• Zwiększenie długości pręta → wolniejszy huśtawka (dłuższy okres)
• Zacznij od większego kąta → patrz, jak okres wzrasta (efekt nieliniowy, że podręcznikowy mały kąt przybliżania brakuje)

Każda zmiana jest miarą. Zmieniłeś parametr i obserwowałeś wynik. Rozpuszczalnik RK4 przerobił 30 klatek na sekundę, a wahadło pokazało wam, co to równanie przewiduje.

O to właśnie chodzi. Matematyka to pomiar. PinePaper sprawia, że jest widoczny.

{{widget: wahadłowiec}}

Odniesienia

• Butcher, J.C. (2016). * Metody numeryczne dla równań różniczkowych zwyczajnych * (3rd ed.). Wiley.
• Dormand, J.R. & Prince, P.J. (1980). Rodzina wbudowanych preparatów Runge- Kutta. * Journal of Computational and Applied Mathematics *, 6 (1), 19- 26.
• Euler, L. (1768). * Institutionum calculi integralis *, Vol. 1. Impensis Academiae Imperialis Scientifiarum.
• Hairer, E., Nørsett, S.P., & Wanner, G. (1993). * Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstill Problems * (2nd ed.). Springer.
• Kutta, W. (1901). Beitrag zur näherungsweisen Integration totaler Differentialgleichungen. * Zeitschrift für Mathematik und Physik *, 46, 435- 453.
• Newton, I. (1687). * Filozofia Naturalis Alternaria Mathematica *. London: Joseph Streater.
• Runge, C. (1895). Über die numerische Auflösung von Differentialgleichungen. * Mathematische Annalen *, 46 (2), 167- 178.
• Srogatz, S.H. (2015). * Nonlinear Dynamics and Chaos * (2nd ed.). Westview Press.

---

• Rozwiązanie ODE PinePaper obejmuje Euler, RK4 i adaptive Dormand- Prince RK45 w około 200 liniach. Spróbuj symulacji wahadła za darmo w [pinepaper.studio / editor] (/editor). *