Kung Paano Ka Tinuturuan ng Isang Pendulum ng Iba't Ibang Equasyon

Magsimula sa Makikita Mo

Ibitin ang isang pabigat mula sa isang kuwerdas. Ilagay sa isang tabi. Umalis na tayo. Pabagu - bago ito.

Gumawa ka lamang ng isang sistema na pinamamahalaan ng isang naiibang ekwasyon:

dθ/dt = ω d Independent/dt = -(g/L) · kasalanan(ng album)

θ ang anggulo. Ang Punjab ang pangunahing salik. Ang g ay grabidad (9.81 m/s2). L ang haba ng kuwerdas. Ang dalawang linyang ito ay nagsasabi: ang anggulo ay nagbabago sa bilis na katumbas ng bilis, at ang bilis ay nagbabago sa bilis na depende sa grabidad, haba, at sa kasalukuyang anggulo.

Ang problema: Hindi natin kayang lutasin nang eksakto ang ekwasyon na ito. Ginagawa ito ng sin(θ) na dilinear. Walang pormula na nagbibigay sa iyo ng θ sa anumang oras t. Kaya tinataya natin — tayo'y sumusulong sa maliliit na inkreasyon, inaalis ang susunod na kalagayan mula sa kasalukuyang kalagayan.

Iyan ang ginagawa ng isang tagalutas ng ODE. At may mas mabuti at mas malala pang paraan ng paggawa nito.

Ang Pamamaraang Euler: Malabo Ngunit Maningning

Ang pinakasimpleng ideya: kung alam ko na ang kalagayan ngayon, at alam ko na ang bilis ng pagbabago, maaari kong tantiyahin ang kalagayan sa dakong huli.

next_angle = current_angle + velocity × dt
next_velocity = current_velocity + acceleration × dt

Ito ang pamamaraan ni Euler. Para kang naglalakad sa ulap: may makikita kang isang hakbang sa unahan, kaya gawin mo iyon, saka mo tingnang muli. Sa kodigo:

function euler(f, t, y, dt) {
  const dy = f(t, y);
  return [
    y[0] + dt * dy[0],
    y[1] + dt * dy[1]
  ];
}

Ang problema: Ang pamamaraan ni Euler ay first-order tumpak. Iyan ay nangangahulugan kung babawasan mo ang sukat, binabawasan mo ang pagkakamali. Para sa pendulo, ang pagkakamaling ito ay naiipon — unti - unting nakakakuha ng lakas at mas malapad at mas malapad ang nagayang pendulo. Pagkaraan ng ilang minuto, ito'y umiikot nang pabilog. Hindi ito ginagawa ng isang tunay na pendulo.

RK4: Ang Sakay ng Trabaho

Noong 1901, naglathala sina Carl Runge at Martin Kutta ng mas mahusay na pamamaraan. Sa halip na tingnan ang bilis ng pagbabago minsan sa bawat hakbang, tingnan ito nang apat na beses:

1. Sinusukat ang dalisdis sa simula ng hakbang → k1
2. Hakbang kalahati gamit ang k1, sukatin ang dalisdis doon → k2
3. Hakbang kalahati gamit ang k2, sukatin muli → k3
4. Hakbang sa dulo gamit ang k3, sukatin ng isa pang beses → k4
5. Pinagsama: may timbang na average (k1 + 2k2 + 2k3 + k4) / 6

Ito ay ikaapat-order tumpak. Hiwain ang hakbang na sukat at ang pagkakamali ay bumababa ng isang salik na 16. Ang pendulo ay nag - iipon ng enerhiya nang wasto para sa libu - libong pagbabagu - bago.

function rk4(f, t, y, dt) {
  const k1 = f(t, y);
  const k2 = f(t + dt/2, [y[0] + dt/2 * k1[0], y[1] + dt/2 * k1[1]]);
  const k3 = f(t + dt/2, [y[0] + dt/2 * k2[0], y[1] + dt/2 * k2[1]]);
  const k4 = f(t + dt,   [y[0] + dt   * k3[0], y[1] + dt   * k3[1]]);
  return [
    y[0] + (dt/6) * (k1[0] + 2*k2[0] + 2*k3[0] + k4[0]),
    y[1] + (dt/6) * (k1[1] + 2*k2[1] + 2*k3[1] + k4[1])
  ];
}

Ito ang pamamaraang ginagamit ng PinePaper para sa pendulo, spring-mass, at Van der Pol reflections. Ito rin ang pamamaraang ginagamit sa mga kalkulasyong aerospace trajectory. 22 linya ng kodigo.

Kung Bakit Ito Mahalaga sa Labas ng Pisika

Ang pendulo ay isang nakapagtuturong halimbawa. Subalit ang pamamaraan ding iyon — sumulong, sukatin, ituwid — ay kumakapit saanman na ikaw ay may bilis ng pagbabago:

• Population lumago: dx/dt = r·x·(1 - x/K). Ang Logistikong paglago na may kakayahang magdala. Gayundin ang lumutas.
• Chemical reaction: ang mga konsentrasyon ay nagbabago sa rate depende sa kasalukuyang konsentrasyon. Gayundin ang lumutas.
• Neural networks: Ang cretified ODE ay isang discretized. Ang bawat hakbang ng pagsasanay ay isang hakbang ng Euler sa kahabaan ng kawalan.
• Economics: ang mga halo ng interes ay patuloy sa pamamagitan ng dy/dt = r·y. Ang lantad na paglago ang pinakasimpleng ODE.
• Animation premise: Ang mga spice currents ay mga solusyon sa spring-damper ODEs. Ang "elastic" at "bounce" na mga pagluluwag sa CSS ay mga pisikal na reaksyon.

Hindi nagbabago ang matematika. Ang nasasakupan. Iyan ang dahilan kung bakit ito isang wika — ang balarila ring iyon ay naglalarawan sa pagbilang ng tupa, pag - iimbita ng pendulo, at pagsasanay ng neural network.

Subukin Ito Mismo

Buksan ang PinePaper at piliin ang Dynamic System generator. Pumili ng "pendulum". Ang bubaling. Palitan ngayon ang mga parameter:

• Dagdagan ang grabidad → mas mabilis ang pag-ikot (mas maikling yugto)
• Palakihin ang haba ng rod → mas mabagal na pag - ikot (mas mahabang yugto)
• Magsimula sa isang mas malaking anggulo → masdan kung paanong ang yugto ay lumalaki (walang epekto na ang aklat - araling maliliit-angle approximation ay nawawala)

Ang bawat pagbabagong ginagawa mo ay isang sukat. Nagbago ka ng isang parameter at nakita mo ang resulta. Muling isinanib ng RK4 ang 30 balangkas sa bawat segundo, at ipinakita sa iyo ng pendulo kung ano ang inihuhula ng ekwasyon.

Iyan ang buong punto. Ang matematika ay sinusukat. Ginagawa itong nakikita ng PinePaper.

{{widget:pendulum-labilya

Mga reperensiya

• Butcher, J.C. (2016). Numerikal na mga Paraan Para sa Ordinaryong Magkaibang Equations (3rd ed.). Wiley.
• Dormand, J.R. & Prince, P.J. (1980). Isang pamilya ng nakapaloob na Runge-Kutta na pormula. Journal of Computational and Applied Mathematics, 6(1), 19-26.
• Euler, L. (1768). * Institutionum calculi Valuciois*, Vol. 1. Impensis Academiae Imperialis Scientiarum.
• Hairer, E., Nørsett, S.P., & Wanner, G. (1993). * Paglutas sa Ordinaryong Pagkakaiba - iba ng Equations I: Nonstiff Problems* (2nd ed.). Tagsibol.
• Kutta, W. (1901). Beitrag zur näherungsweisen Integration overper Differ Differyalgleichungen. Zeitschrift für Mathematik und Physik, 46, 435-453.
• Newton, I. (1687). Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica. London: Joseph Smoder.
• Runge, C. (1895). Über dies numerische Auflösung von Differyalgleichungen. Mathematische Annalen, 46(2), 167-178.
• Strogatz, S.H. (2015). * Nonlinear Dynamics at Chaos* (2nd ed.). Westview Press.

---

Ang ODE Solunder ng PPinePaper ay sumasaklaw sa Euler, RK4, at sa pang-angkop na Dormand-Prince RK45 sa mga 200 linya. Subukan ang pendulo na walang repleksiyon sa pinepaper.studio/editor.