“Point Paper、数学、测量和PinePaper”

银幕失落的祖先

在19世纪初里昂的丝绸工场中,设计师们研究了一种特殊的纸,叫做点纸. 床单上的每个方块都代表着一个在闭路口上的曲速和微软的交叉点——一个节,一个缝,一个决定. 设计青铜器,画家在细胞中染色,编织 一个工匠逐行阅读这些细胞 并拉出相应的线条。 网格不是装饰 这是一个坐标系统,每个细胞都带有物理意义.

点报早于几个世纪的里昂. 波斯地毯设计师使用过. 中国挂毯织工也用过. 意大利文艺复兴时期的刺绣家也使用过. 英国织布师仍然使用它。 它在今天的跨层图表和像素艺术辅导中生存. 将这些传统联合在一起的是单一的想法:a 设计的形象是许多小的,准确的,可衡量的单位的总和.

1804年,约瑟夫-玛丽·雅克夸德(Joseph-Marie Jacquard)将这个想法电传到一台机器中. 他的眼罩从拳头卡片上读出点纸设计——每行编织一张卡片,每间牢房一个洞——并在没有人阅读图表的情况下用布片复制设计[Essinger,2004]. 40年后,艾达·洛芙蕾丝看着雅夸德的凝视,看到了计算的未来:

"我们可以非常恰当地说,分析引擎编织代数图案就像Jacquard针织花和叶子一样"——Ada Lovelace, 1843 [Lovelace, 1843]

电网变成了一个程序。 单位细胞变成了位点. 点纸是从工艺测量到通用计算—— 以及从计算回路, 最终到屏幕的桥梁.

PinePaper对这个血统很重视. 这个名字是双关语,但不只是双关语。 PinePaper是数字点纸:一个画布,每个坐标都是精确的对数,每个形状都是精确的几何片,每个动画都是时间的函数,尺上的每个单元都对应世界上真实的东西.

PinePaper在核心上是一个矢量图形引擎——一个数学真理显眼的画布. 因为数学几乎适用于每一个领域,PinePaper也一样:数据可视化,科学人物,课堂图表,设计布局,插图解释,动画散文,工艺图案,以及我们尚未看到的百种用途. 它今天**的主要受众是内容创造者,教育者,以及营销团队,但画布向任何需要精确视觉的人开放——作为合作,AI代理援助,以及其他在未来发行中的整合,更多的人会发现他们自己的用途. 数学是基础。 观众是能读的人.

页面存档备份,存于互联网档案馆

要观察, 您需要测量

数学不是从抽象推理开始的。 最早的数学文物是来自苏美尔的粘土符号,可追溯到大约8000BCE——用来计算农产品的小形状物体[Schmandt-Besserat,1992]. 锥形指少量的谷物;球体指大型的. 检查密封粘土信封的内装 而不破解 ,苏美尔人将信物压入湿水面后再封印——创建第一个书面数字[Nissen et al.,1993].

"多少钱?"和"多少?"——这些是第一个问题. 数学开始作为一种记录测量的技术.

几何一词本身意为"大地测量". 赫罗多图斯将其发明归功于埃及人在一年一度的尼罗河洪水抹去边界标志后重新调查农田[赫罗多图斯,历史,第二卷,c.430BCE]. 病理学揭示了这个关系:数学早在物理世界变得有理之前就已经测量了.

数学计量的每个分支

欧几里得正式的几何学作为推算系统——来自轴的命题,独立于任何特定的物理物体[Heath, 1908]. 一点没有层面。 一条线没有宽度。 但是,即使是这些抽象也为测量服务. 毕达哥里定理度量一对角. 区域公式测量的空间是封闭的。 抽象使计量更加笼统和精确.

这种模式重复了几千年.

代数测量未知数——给出尚未观测到的值的名称[Rashed,1994]. 三角测量测量角度和距离无法直接达到. 计算器测量的变化——瞬间率,而非平均值[Guicciadini,1999]. 概率衡量不确定性。 傅里叶分析测量了频率——将复杂性分解为纯组件[Fourier, 1822]. 地形测量形状独立于大小. 信息理论测得惊喜——信息中的位点[Shannon,1948]. 每个分支的出现是因为有人需要测量一些 现有的数学无法表达的东西.

数学史并非突破的列表. 这是人类能够衡量的不断扩展。 每个新分支都回答了苏美尔人问的同样问题,里昂奈斯点纸设计师也问道:"我如何记录我观察到的东西

{\fn黑体\fs22\bord1\shad0\3ahbe\4ah00\fscx67\fscy66\2chffffff\3ch808080}我还得去

Canvas 是一个坐标系统

1637年笛卡尔出版了La Géométrie,引入了坐标几何——在平面上可以绘制代数方程作为曲线的想法[Descartes, 1637]. 这是革命性的,不是因为它创造了新的数学,而是因为它使现有的数学可见. 像y=x2这样的方程式已经不再抽象;它是一种用手指可以追踪的抛物线.

笛卡尔的洞察力是PinePaper的基础.

帆布——任何帆布——是一个坐标系统。 它有一个X轴和一个Y轴. 每一点都是一对数字 每个形状都是一组几何方程. 每个动画都是时间的函数. 这不是比喻。 这是字面上的。 当将一个圆圈置于半径为50的位置(400,300)时,会写出方程(x−400)2+(y−300)2=2500. 里昂的点纸设计师会立刻承认这个原则:每个细胞是一个坐标,每个坐标是一个决定.

PinePaper建于Paper.js上,因为Paper.js将图形作为几何,而不是像素. 每个形状都作为一组贝塞尔曲线存储——三聚体,通过控制点定义平滑路径. 一个圆圈不是彩色点的网格;它是四个比齐尔片段准确描述它的曲率. 缩放一个形状时,Paper.js对这些曲线应用矩阵转换——计算机图形学和机器人学中使用的相同线性代数. 比例总是得到保留。 一个形状的宽度是另一个形状的一半,它保持了一半的宽度,无论你看到的是电话屏幕还是打印的海报.

这是渲染层。 它给PinePaper一个坐标系统,其中每个点,每个曲线,每个变换都是数学定义的.

在这个渲染层上,PinePaper又增加了两个东西. 第一个是命名单位系统:每个文件都宣布一个帆布单位在现实世界中的含义——1毫米,1厘米,1英寸,1秒,1赫兹. 画布边缘的尺子显示这个单元. 电网会崩溃的 在其中选择读取报告尺寸 。 第二个是计算层,用来解方程,转换信号,并评价同一坐标系统中的数学表达式.

它们一起把帆布变成了测量仪器。 您可以输入一个数学表达式, 并看到它被绘制 。 你可以模拟一个圆柱形,一个弹簧,一个洛伦兹吸引器,并实时观看物理学的展开——不是作为预先录制的动画,而是作为现场的数字解决方案. 可以将一个信号分解成它的频率组件,并看到光谱. 你可以变形成几何形状——曲折,波折,折叠,呼吸——在路径的每一个点,每个框上都应用变形.

这些不是近似数学的视觉效果. 它们*是数学,计算和制作在一个坐标系统中,它的单位有名字.

{{:可见-方程}}

画画上可以测量什么

您不需要懂数学就可以使用 PinePaper 。 你不需要知道什么是比兹尔曲线 画一个。 您不需要理解矩阵代数来旋转形状 。 数学就在下面——它是发动机,而不是方向盘.

但数学是存在的,它是诚实的。 每个曲线由多诺米来定义,而不是像素. 每一个转变都保持了精确的比例。 标尺上的每个测量值都对应一个真实的单位. 当你超越了模拟、图画或动画, PinePaper 自己的解析器, 转换,信号处理器来完成这项工作.

现今画布上可行的几个例子:

** 纺织品或图案设计师** 可以在平面的几何形状上铺设衬垫。 角度必须加起来。 棋子必须搭配,没有缺口。 这是里昂奈斯点纸艺术家用彩色细胞解决的同样问题,同样的问题数学家研究了几个世纪. PinePaper 的比齐尔路径和布尔操作可以让你检查棋子是否合适——数学可以保证它们合适。 将帆布单元设置为"线条",网格成为字面点纸:一个单元格,一个曲面和织物交叉点,与丝绸厂设计师的工作完全相同.

** 室内设计师或教员** 勾画房间布局可以将帆布单位设为米,画墙以缩放,从统治者那里读回尺寸. 这是餐巾板和概念板的工作,不是完整的建筑起草——PinePaper不是一个CAD工具——但单位是真实的,比例是准确的. 同样的画布也用于教师绘制课堂布局图,市场商嘲弄交易摊位,或内容创作者用不假的测量来说明"如何安排你的家用办公室".

** 手工制作者或爱好者文献学家** 铺设纸质工艺图案、刺绣图或屏幕印刷设计,可以以毫米或英寸表示帆布单位。 将文档大小设定为物理工作表大小,并按实际单位计算。 这是点纸的工艺方面——设计一个最终形态是物理的事物,然后用在从屏幕到底部的旅程中存活下来的比例在线分享设计.

一个学习波浪的学生可以在画布上画出正弦波. 改变频率和波压缩. 改变振幅 并增加高。 加上两波,它们会干扰 PinePaper的PineMath引擎版图直接发挥功能——y = sin(x),y = sin(x)/x,参数曲线,任何您可以写成公式的东西. 将x轴单位设定为秒,Y轴单位设定为伏特,图案现在为示波器跟踪.

一个教师解释运动可以模拟一个笔鼓摇摆. PinePaper的ODE解析器——Euler,Runge-Kutta 4和适应性的Dormand-Prince RK45——逐级计算真物理. 屏幕上的笔鼓不是模仿笔鼓的动画. 它是实时制成的微分方程的数字解决方案。 学生看到它在其弧顶处缓慢,在底部加速. 理解是视觉第一,数学第二.

音乐家可以使用Cooley-Tukey FFT绘制一个信号的频率内容,并看到一个频谱. 随时间推移而动画化,频率内容演化为谱系——由1822年出版的同一种数学变体Fourier所建. 将x轴单位设置为hertz,光谱直接读出频率.

** 一个科学家** 准备一个数字以供出版,可以把画布缩小到一个日记的准确的栏宽度——如86毫米——然后按实际有意义的单位绘制数据。 图中以适当的比例以合适的大小导出,标签以秒读出,kelvins,或mouse而不是像素.

一个运动设计师可以在物体进出方便的地方制作动画. 放松曲线是一个立方贝塞尔——这个函数将时间映射为进步. 在PinePaper的画布上,该曲线不是从菜单中选择的预设. 这是一个你可以看到、编辑和理解的方程式.

一个书法家或字体设计师可以建立字母形式,每个曲线都是比齐尔多诺米语. 沿路径的弦宽不同. 字母之间的间隔遵循节奏. 所有可测量的,所有精确的,都作为几何而不是像素存储.

对于想要直接读取方程式的人,PinePaper会暴露其完整的数值计算引擎——函数图解,ODE解析,FFT,信号生成,参数曲线. 对其他人来说,数学是无形的脚手架. 你的工作顶端.

{\fn黑体\fs22\bord1\shad0\3ahbe\4ah00\fscx67\fscy66\2chffffff\3ch808080}请检查date=中的日期值 (帮助)

为人类和AI建造

PinePaper是为两种用户建造的:人和人工智能.

对人们来说,目标是使数学测量可以使用而不需要数学训练. PinePaper的主要受众——内容创造者,教育者,以及营销团队——需要铺设海报,草图标注图,表模拟,以及规模运动资产,而不用手工计算比率或翻译像素. 但画布对一个科学家来说同样有效, 他准备了一个出版图, 一个爱好者设计了一个工艺图案, 一个分析师探索一个数据集, 一个学生建筑的直觉, 或者其他需要精确视觉的人。 数学是基础,经验是视觉的.

对于AI来说,目标相反:让语言模型有一个精确,可编程的画布,每个操作都有数学意义. 当一个AI助手将一堵墙放置在向东运行4.2米(1.2米,0.0米)的位置上时,这些数字是准确的——他们与人类用户共享一个单元系统. 坐标系统并不近似。 PinePaper将其完整的API暴露于AI剂中,这样,AI在画布上所做的每次测量都会产生人类在同一个单位中看到的相同结果.

教育心理学的研究支持双轨制. 视觉表现在学习数学概念时减少认知负荷[Mayer, 2009]. 双渠道处理——同时看到和阅读——能够比单独处理更深刻的理解[Sweller,1988]. 同样的原则也适用于人类-AI合作:当人和AI都与命名的单位共享数学忠实的画布时,它们正在测量相同的东西.

这是 PinePaper 的传统输入 :

• ** Desmos**使代数对超过7500万用户进行交互[Desmos,2023].
• GeoGebra结合了195个国家的教室几何和微积分可视化[Hohenwarter,2002].
• ** Manim**,为3 Blue1Brown创建,生成了超过4亿次观看的数学动画[Sanderson, 2015].
• ** D3.js** 使统计模式在网络上可见和互动[Bostock等人,2011年].

PinePaper增加了一个这些工具没有的视角:** 使设计能够以真实单位计量的同一张画布——人类和AI都应该能够读取这些测量数据。 ** 字体间距比,倒数期,频谱,以及地板计划维度都是测量的. 他们都应该有一个认真对待他们的协调系统.

何在处——何在生长

PinePaper已经具备三种能力,并继续深化:

** 基于约束的关系** 自动保留元素之间的数学关系. 如果一个标签环绕一个圆圈,跟随一个目标,或者附着在一块骨头上,制约是活的——移动母体和每个依赖元素随它一起移动. 现今PinePaper型25+关系型舰(轨道,跟随,附着 至,维护 距离,驱动 by,扭动等). 正在增长的是:一个更丰富的制约引擎,在这些引擎中,这些关系成为文档的一流事实,而不仅仅是运行时的行为.

** 知识图** 已经到位。 每个画布项目都有语义特征——类型,关系,动画,数学功能——AI代理可以读取和查询. 本体学跨越95个类,跨越PinePaper词汇,以CC0公有领域发布. 什么在增长:更丰富的图结构,包括比例,比例,和几何依赖,所以一个AI代理可以问"这种布局的侧面比是多少?",并获得一个人类可以在尺子上验证的答案.

** 数字读出** 显示真实单位的实测。 选择一个项目, HUD 显示其宽度和高度, 以毫米、 英寸或帆布所设置的单位表示。 尺和单位网格提供视觉参考. 正在增长的是: 起草传统中的全尺寸说明——目击线,领头箭头,维度文本——作为一等项目,在几何描述变化时更新.

PinePaper今天的主要受众是内容创作者,教育者,以及 营销团队,但画布是用来服务任何需要精确视觉的人的——数据分析师,爱好者,科学家,学生,制造者,以及日益帮助他们的AI助手. 单位意识绘图直接服务于他们:教师用标记图的尺寸表示,市场营销者用精确的横幅格式表示竞选资产,内容创建者用真实比例构建如何图案,科学家用日记准备大小绘制图表。 完整的3D CAD——固态建模,B-rep,STEP/IFC导入,参数化特性——是一个不同的数学基础问题,Rhino,Blender,和SolidWorks等工具都很好地为它服务. PinePaper今天并没有追逐他们,不过随着观众和平台的增长,我们可能会在后来的发行中加入CAD相邻的能力. 核心身份是一个任何人都能读懂的忠实的2D坐标系统.

我们所相信的

四根线贯穿这个故事.

Point paper是历史仪器:每个单元格都是物理工作单位的网格. 它连接了里昂奈斯丝绸设计师,Jacquard loom,Lovelace的分析引擎,以及现代像素.

数学是给予网格精度的语言. 苏美尔符号 欧几利得几何 笛卡尔坐标 傅里叶变换 微分方程——每个分支都是被发明来测量上一个分支无法表达的东西.

** 计量** 是将两者结合起来的行为。 要观察任何东西,你需要测量。 要测量任何东西,你需要数学。 做一个测量可见——把它放在一个表面,你和其他人(或你和一个AI)可以看到同样的东西——你需要一个坐标系统.

PinePaper是现代合成. 矢量几何作为渲染层. 一个被命名的单位系统作为人体表面. 数字计算引擎作为后室. 同样的画布服务于一位设计师,一位学生,一位建筑师,一位音乐家,一位科学家,以及一位AI助手——因为他们都在不同的词汇中做同样的事情. 他们正在记录他们观察到的东西.

我们还没完 知识图已经存在——每个画布项目都带有AI代理能够读取的语义特征,在CC0下发布了95个肿瘤类. 关系系统已经保留了几何限制:25+关系类型保持元素的连接,对齐,并随着场景的变化同步. 正在加深的是图的表达性——捕捉比率,比例,和依赖性,这样每个几何关系都是可以查询的,而不仅仅是运行时执行的. 同时,一个研究线程正在探索一个在PinePaper两个表面都经过训练的微调模型——它的高级指令API和画布本土制作的原始SVG. 两者都通过同一管道渲染,动画,导出和加入知识图,没有转换步骤. Knowledge Hub的特点是SVG-和-LLM研究为这个方向提供参考;我们的项目是经验补充——今天的模型能像处理文本一样流畅地读取,生成和解释矢量几何吗? 随着工作的发展,我们将分享成果。 将会有更多的形状,更多的解析器,更多的单位,更多的语言. 这些都是工程问题,而不是概念问题。 数学基础已经存在. 剩下的是连接它 用于衡量一个人——或AI——可能需要的每一种计量.

我们的工作假设:当你给人们一个尊重数学真理的画布,并诚实地命名其单位时,他们找到方法来测量你从未预料到的事情。 点纸设计师测量线程. 物理学家测量运动。 音乐家测量频率. 设计师的衡量重点 一个艺术家测量平衡。 一个孩子能衡量好奇心 画布不需要知道域——它只需要忠实于坐标,诚实地了解单位.

你不需要知道自己在做数学 你只需要看到比例是正确的, 动画感觉自然, 间隔是平衡的, 你设计的海报就是A4。 数学是为了保证你的眼睛不被欺骗.

这是一个经验性的说法。 这也许是错误的。 但是,如果它能维持下去,我们不仅在建造一个设计工具——我们正在建造一个仪器来查看数学所描述的东西。 我们正在为每个人建造它.

编辑是免费的,永远是免费的. 驱动它的AI也可以是免费的——像Gemma这样的开放量级模型运行在自己的机器上,并通过它的开放协议直接连接到PinePaper. 这样的乐器不应该坐落在支付墙后面——最需要坐标系统的人正是那些总买不起坐标系统的人.

参考资料

• Bostock, M., Ogievetsky, V., & Heer, J.(2011年). D3: 数据驱动文档. *IEEE Trans. Visualization & Computer Graphics *, 17(12), 2301-2309.
• 笛卡尔, R. (1637). * La Géométrie*。 莱顿.
• 德摩斯 (2023) (英语). Desmos教室活动——影响报告.
• Essinger, J. (2004年) (英语). Jacquard's Web: 如何手淫引领信息时代诞生. 牛津大学出版社.
• Fourier, J. (1822) (英语). * Théorie analytique de la chaleur* (法语). 巴黎:菲尔明·迪多特.
• Guicciardini, N. (1999年). 读普林西比亚:关于牛顿数学方法的辩论. 剑桥大学出版社.
• Heath, T.L. (1908) (英语). * 《欧几里得元素》第十三卷 *。 剑桥大学出版社.
• 赫罗多图斯(c. 430 BCE). 历史,第二卷.
• Hohenwarter, M.(2002年)。 GeoGebra——动态数学教学软件系统. 萨尔茨堡大学硕士论文.
• Lovelace, A. (1843)) (英语). 译名注解,载于L.F. Menabrea,"Charles Babbage发明的分析引擎的Sketch". 科学备忘录, 3, 666–731.
• Maier, R.E.(2009年) (英语). * 多媒体学习* (第2版). 剑桥大学出版社.
• Nissen, H.J., Damerow, P., & Englund, R.K. (1993年). * 档案簿:古代近东经济管理的早期写作和技术*,芝加哥大学出版社.
• Rashed, R.(1994年)。 阿拉伯数学的发展:在算术与代数之间. 斯普林尔.
• Sanderson, G. (2015) (英语). 3 Blue1Brown——马尼姆动画引擎. github.com/3b1b/manim. (原始内容存档于2018-09-29).
• Schmandt-Besserat, D. (1992年). * 写作前,第一卷:从计算到库奈弗尔*。 德克萨斯大学出版社.
• Shannon, C.E. (1948) (英语). 交流数学理论. * 贝尔系统技术期刊*,27(3),379-423.
• Sweller, J. (1988) (英语). * 认知科学*,12(2),257-285.

---

PinePaper Studio在pinepaper.studio/editor免费. 知识图和本体学在[pinepaper.studio/ontology] (QQ1Q) 中均有记载