วิธี ที่ ลูก ตุ้ม สอน คุณ

เริ่ม ด้วย สิ่ง ที่ คุณ เห็น

จับน้ําหนักจากเชือก ดึงไปด้านนึง ปล่อยนะ มันแกว่ง.

คุณเพิ่งสร้างระบบที่ควบคุมโดยสมการอนุพันธ์

dθ/dt = ω dω/dt= -(g/L) ไซน์ (θ)

○ คือ มุม. ○ คือ ความเร็ว ของ อาร์กติก. g คือแรงโน้มถ่วง (9.81 m/s2). L คือความยาวเส้น เส้นสองเส้นนี้บอกว่า การเปลี่ยนมุมด้วยอัตราเท่ากับความเร็ว และความเร็วเปลี่ยนแปลงด้วยอัตราที่ขึ้นอยู่กับแรงโน้มถ่วง ความยาว และมุมปัจจุบัน.

ปัญหา: เราไม่สามารถแก้สมการนี้ได้ sin(θ) ทําให้ไม่เป็นเชิงเส้น มันไม่มีสูตรที่ให้ θ เมื่อใดก็ตามที่ t ดัง นั้น เรา กะ ประมาณ ว่า เรา ก้าว หน้า ต่อ ไป ใน ระดับ เล็ก ๆ โดย คํานวณ รัฐ ต่อ ไป จาก รัฐ ปัจจุบัน.

นั่นคือสิ่งที่นักแก้ปัญหา ODE ทํา และมีวิธีที่ดีกว่านี้และแย่ลง.

วิธี อูล เลอ ร์: เป็น ที่ นิยม แต่ เป็น ที่ นิยม

แนวคิดที่ง่ายที่สุด: ถ้าผมรู้จักรัฐตอนนี้ และผมรู้อัตราการเปลี่ยนแปลง ผมสามารถประเมิน รัฐได้ทีละขั้น.

next_angle = current_angle + velocity × dt
next_velocity = current_velocity + acceleration × dt

นี่คือวิธีการของออยเลอร์ มันก็เหมือนกับการเดินผ่านหมอก คุณสามารถเห็นก้าวหนึ่งก้าวข้างหน้า ในรหัส:

function euler(f, t, y, dt) {
  const dy = f(t, y);
  return [
    y[0] + dt * dy[0],
    y[1] + dt * dy[1]
  ];
}

ปัญหา:วิธีการของออยเลอร์ถูกต้อง นั่นหมายความว่าถ้าคุณลดขนาดขั้น คุณลดความผิดพลาด สําหรับ ลูก ตุ้ม แล้ว ความ ผิด พลาด นี้ เพิ่ม ขึ้น เรื่อย ๆ — ลูก ตุ้ม ที่ ถูก จําลอง แล้ว ค่อย ๆ ได้ พลัง งาน และ แกว่ง กว้าง ขึ้น เรื่อย ๆ. หลังจากไม่กี่นาที มันหมุนเป็นวงกลมเต็ม ลูกตุ้มของจริง ไม่เคยทําแบบนี้.

อาร์เค4 : ม้างาน (RK4)

1901 คาร์ล รันจ์ และ มาร์ติน คุตตา ได้ตีพิมพ์วิธีการที่ดีกว่า ในปี ค.ศ. แทนที่จะดูที่อัตราการเปลี่ยนแปลงหนึ่งครั้งต่อก้าว ลองดู 4 ครั้ง:

1. วัดความชันในตอนต้นของขั้นตอน k1
2. กึ่งกลางโดยใช้ k1, วัดความชันตรงนี้ ○ k2
3. กึ่งกลางโดยใช้ k2, วัดอีกครั้ง ○ k3
4. ก้าวไปยังตอนจบโดยใช้ k3, วัดได้อีกครั้งหนึ่ง k4
5. การรวม: เฉลี่ยน้ําหนัก (k1 + 2k2 + 2k3 + k4) / 6

นี่เป็นลําดับที่สี่ที่ถูกต้อง ลดขนาดขั้นและความผิดพลาดลดลงด้วยปัจจัยที่ 16 ลูก ตุ้ม เก็บ พลังงาน ไว้ อย่าง ถูก ต้อง สําหรับ การ หมุน หลาย พัน ครั้ง.

function rk4(f, t, y, dt) {
  const k1 = f(t, y);
  const k2 = f(t + dt/2, [y[0] + dt/2 * k1[0], y[1] + dt/2 * k1[1]]);
  const k3 = f(t + dt/2, [y[0] + dt/2 * k2[0], y[1] + dt/2 * k2[1]]);
  const k4 = f(t + dt,   [y[0] + dt   * k3[0], y[1] + dt   * k3[1]]);
  return [
    y[0] + (dt/6) * (k1[0] + 2*k2[0] + 2*k3[0] + k4[0]),
    y[1] + (dt/6) * (k1[1] + 2*k2[1] + 2*k3[1] + k4[1])
  ];
}

นี่คือวิธีที่ PinePaper ใช้สําหรับลูกตุ้ม สปริง-มาส และแบบจําลองแวน เดอ โพล มันเป็นวิธีเดียวกันที่ใช้ในการคํานวณเส้นทางอวกาศ 22 บรรทัดของรหัส.

ทําไม เรื่อง นี้ จึง สําคัญ

ลูก ตุ้ม เป็น ตัว อย่าง การ สอน. แต่ เทคนิค เดียว กัน — ก้าว ไป ข้าง หน้า, วัด, ถูก — ใช้ ได้ ทุก ที่ ที่ คุณ มี อัตรา การ เปลี่ยน แปลง:

• ~ การเพิ่มขึ้นของประชากร~: dx/dt = rx(1 - x/K). การเติบโตแบบล็อกเอาต์ ด้วยความจุ ตัวแก้ไขเหมือนกัน.
• ** ปฏิกิริยาทางกาย **: ความเข้มข้นเปลี่ยนแปลงตามสัดส่วนที่เพิ่มขึ้น ตัวแก้ไขเหมือนกัน.
• ** เครือข่ายภายนอก*: การสืบเชื้อสายคือ ODE ที่ถูกแก้ไขไปแล้ว แต่ ละ ขั้น ของ การ ฝึก อบรม คือ การ ก้าว ไป ตาม ผิว นอก ของ การ สูญ เสีย.
• ดอกเบี้ยทบต้นอย่างต่อเนื่อง ผ่าน dy/dt= ry การเติบโตของค่า x เป็นค่า ODE ที่ง่ายที่สุด.
• เวลาของการแสดง ~: การปล่อยเส้นโค้ง เป็นวิธีแก้ปัญหาของ สปริง-แดมเปอร์ โอดีกส์ การปล่อยก๊าซใน CSS เป็นแบบจําลองทางกายภาพ.